Лекции Джамай Антона Викторовича

C 9 по 14 марта  Джамай Антон Викторович, PhD (Колумбийский университет, США), профессор школы Математики и Директор аспирантской PhD программы по Математическому Образованию Университета Северного Колорадо (г. Грили, США), ведущий специалист в теории дискретных уравнений Пенлеве и интегрируемых систем прочитал курс лекций на следующие темы:
Тема 1. Алгебраический подход к решению уравнений 

Техника решений простых линейных и квадратичных уравнений отрабатывается до автоматизма в средней школе. Но иногда полезно задуматься о том, что означают все эти алгебраические преобразовании. Что именно мы делаем? Для этого оказывается удобно заменить обычные вещественные (или даже комплексные) числа на похожие объекты, но с несколько другими свойствами. В алгебре такие структуры называются поля и кольца. Мы рассмотрим очень простые примеры “модулярных колец” и увидим, что иногда это приводит к интересным и неожиданным результатам. 

Тема 2. Симметрии и задачи классификации 

Одной из важных задач математики является задача классификации. Например, при рассмотрении большого класса разных объектов, часто бывает удобно сгруппировать “похожие” объекты в подклассы (такое разбиение, на языке математики, называется отношением эквивалентности). Часто в основе такого разбиения лежат соображения симметрии. Мы проиллюстрируем этот подход на примере регулярных орнаментов и расскажем сколько таких действительно “разных” орнаментов (или регулярных замещений полосы или плоскости) можно найти. 

Сколько разных браслетов можно сделать из 4 бусин из 3 цветов? Ответ на этот вопрос можно дать простым перечислением. А что если бусин 8 а цветов 10? И что считать разными? Или, например, мы хотим покрасить грани куба в 3 разных цвета. Сколькими способами можно это сделать? А что если цветов 10? Оказывается, что теория групп предоставляет эффективный метод для ответа на эти вопросы. Мы расскажем о так-называемой счетной лемме Бернсайда и как с её помощью можно дать ответы на все вопросы выше. В процессе мы проиллюстрируем основные понятия теории групп (знакомство с которой желательно, но совсем не обязательно для понимания лекции). 

Тема 3. Практикум: Разрезания, склеивания, раскрашивания 

Целью этого практического занятия является иллюстрация того, как простые математические соображения могут помогать решать задачи “на смекалку”. И наоборот, задачи которые мы попробуем решить подходят для иллюстрации важности умения логически мыслить, и эти примеры могут потом быть использованы при обучении учащихся средней школы.